BÀI 2: CỘNG, TRỪ VÀ NHÂN SỐ PHỨC
|
R_
Dạng 1. Thực hiện
phép tính.
V-Phương
pháp: Cho các số
phức ${{z}_{1}}={{a}_{1}}+b{}_{1}i$ ${{z}_{2}}={{a}_{2}}+b{}_{2}i$ (${{a}_{1}},{{a}_{2}},{{b}_{1}},{{b}_{2}}\in
\mathbb{R}$)
u _Phép cộng hai số phức: ${{z}_{1}}{{z}_{2}}=({{a}_{1}}{{a}_{2}}-{{b}_{1}}{{b}_{2}})+({{a}_{1}}{{b}_{2}}+{{a}_{2}}{{b}_{1}})i$.
v _Phép trừ của hai số phức: ${{z}_{1}}-{{z}_{2}}=({{a}_{1}}-{{a}_{2}})+({{b}_{1}}-{{b}_{2}})i$.
w _Số đối của
số phức $z=a+bi$ ($a,b\in \mathbb{R}$) là số phức $-z=-a-bi$.
x _Phép nhân hai
số phức: ${{z}_{1}}{{z}_{2}}=({{a}_{1}}{{a}_{2}}-{{b}_{1}}{{b}_{2}})+({{a}_{1}}{{b}_{2}}+{{a}_{2}}{{b}_{1}})i$.
|
j_Bài tập minh họa:
Câu
1: (MÃ ĐỀ 108 THPT QG 2019) Cho hai số phức ${{z}_{1}}=-2+i$
và ${{z}_{2}}=1+i$. Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, điểm biểu diễn số phức $2{{z}_{1}}+{{z}_{2}}$
có tọa độ là
A. $\left( -3;\,2 \right)$. B. $\left( 2;\,-3 \right)$. C. $\left(
-3;\,3 \right)$. D. $\left(
3;\,-3 \right)$.
|
|
Lời giải
Chọn C
—
Ta có: $2{{z}_{1}}+{{z}_{2}}=2.\left(
-2+i \right)+\left( 1+i \right)=-4\,+\,2i\,+\,1\,+i\,=\,-3\,+\,3i$
Vậy điểm biểu diễn số phức $2{{z}_{1}}+{{z}_{2}}$
có tọa độ là $\left( -3;\,3 \right)$.
|
PP nhanh trắc nghiệm
 |
Câu 2: (CHUYÊN LAM SƠN LẦN 2 NĂM 2019) Cho
hai số phức ${{z}_{1}}=1+2i$ và ${{z}_{2}}=3-4i$. Số phức $2{{z}_{1}}+3{{z}_{2}}-{{z}_{1}}{{z}_{2}}$
là số phức nào sau đây?
A. $10i$. B. $-10i$. C. $11+8i$. D. $11-10i$.
|
|
Lời giải
Chọn B
—
Ta có $2{{z}_{1}}+3{{z}_{2}}-{{z}_{1}}{{z}_{2}}$$=2\left( 1+2i
\right)+3\left( 3-4i \right)-\left( 1+2i \right)\left( 3-4i \right)$
$=11-8i-\left( 11+2i \right)=-10i$.
|
PP nhanh trắc nghiệm
 |
Câu 3: (THPT NGUYỄN DU DAK-LAK 2019) Trên tập số phức, cho biểu thức $A=\left( a-bi
\right)\left( 1-i \right)$ ($a,\text{ }b$ là số thực). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $A=a+b-\left( a+b \right)i.$ B. $A=-a+b+\left(
b-a \right)i.$
C. $A=a-b-\left( a-b \right)i.$ D. $A=a-b-\left( a+b \right)i.$
|
|
Lời giải
Chọn D
— $A=\left( a-bi \right)\left( 1-i \right)=a-ai-bi+b{{i}^{2}}$
$=\left( a-b \right)-\left( a+b
\right)i$
|
PP nhanh trắc nghiệm
@
.
|
MỜI BẠN BẤM VÀO LINK SAU ĐỂ LÀM BÀI:➽➽ DẠNG 1: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH
CHỈNH ĐỀ CÂU 8 DẠNG 1.
ĐÁP ÁN DẠNG 1
1.D
|
2.A
|
3.C
|
4.B
|
5.A
|
6.A
|
7.C
|
8.A
|
9.D
|
10.B
|
11.B
|
12.B
|
13.C
|
14.B
|
15.C
|
16.D
|
17.A
|
18.D
|
19.C
|
20.C
|
R_ Dạng 2. Xác định các yếu tố cơ bản
của số phức qua phép toán.
V-Phương pháp:
u_ Số phức $z$ là
biểu thức có dạng $z=a+bi\quad \left( a,b\in R,{{i}^{2}}=-1 \right)$. Khi đó:
+ Phần thực của $z$ là $a$, phần ảo của $z$ là $b$ và $i$ được gọi là đơn
vị ảo.
v_Đặc biệt:
+ Số phức $z=a+0i$ có phần ảo bằng $0$ được coi là số thực và viết là
$z=a$
+ Số phức $z=0+bi$ có phần thực bằng $0$ được gọi là số ảo (hay số
thuần ảo) và viết là $z=bi$
+ Số $i=0+1i=1i$.
+ Số: $0=0+0i$ vừa là số thực vừa là số ảo.
j_Bài
tập minh họa:
Câu 1: Số phức $z=\left( 2-3i \right)-\left( -5+i \right)$ có phần ảo bằng
A. $-2i$. B. $-4i$. C. $-4$. D. $-2$.
|
|
Lời giải
Chọn C
— Ta có:
$z=\left( 2-3i \right)-\left( -5+i
\right)=\left( 2+5 \right)-\left( 3+1 \right)i=7-4i$.
Nên phần ảo của số phức $z$ là $-4$.
|
PP nhanh trắc nghiệm
@
Từ phép tính ta
có phần ảo số phức $z$ là $-4$.
|
Câu 2: Cho các số phức ${{z}_{1}}=1-i\sqrt{2}$,
${{z}_{2}}=-\sqrt{2}+i\sqrt{3}$. Số phức nào sau có phần ảo lớn hơn.
A. ${{z}_{2}}-{{z}_{1}}$. B. ${{z}_{1}}$. C. ${{z}_{2}}.$ D. ${{z}_{2}}+{{z}_{1}}$.
|
|
Lời giải
Chọn A .
— Số phức ${{z}_{2}}-{{z}_{1}}=-1-\sqrt{2}+\left(
\sqrt{3}+\sqrt{2} \right)i$, có phần ảo là $\sqrt{3}+\sqrt{2}$.
Số phức ${{z}_{1}}=1-i\sqrt{2}$,
có phần ảo là $-\sqrt{2}$.
Số phức ${{z}_{2}}=-\sqrt{2}+i\sqrt{3}$,
có phần ảo là $\sqrt{3}$.
Số phức ${{z}_{2}}+{{z}_{1}}=1-\sqrt{2}+\left(
\sqrt{3}-\sqrt{2} \right)i$, có phần ảo là $\sqrt{3}-\sqrt{2}$.
Vậy số phức ${{z}_{2}}-{{z}_{1}}$ có phần ảo lớn nhất.
|
PP nhanh trắc nghiệm
@ Nhập máy tính để tính ${{z}_{2}}-{{z}_{1}}$
  |
Câu 3: (HKII Kim Liên 2017-2018) Tìm phần thực $a$
của số phức$z={{i}^{2}}+...+{{i}^{2019}}$.
A. $a=1$. B. $a=-{{2}^{1009}}$. C. $a={{2}^{1009}}$. D. $a=-1$.
|
|
Lời giải
Chọn B
— $z={{i}^{2}}+...+{{i}^{2019}}$
Với $n\ge 1$, ta có:
${{i}^{4n}}=1$, ${{i}^{4n+1}}=i$, ${{i}^{4n+2}}=-1$, ${{i}^{4n+3}}=-i$
$\Rightarrow
{{i}^{4n}}+{{i}^{4n+1}}+{{i}^{4n+2}}+{{i}^{4n+3}}=0$
$\Rightarrow \left(
{{i}^{4}}+{{i}^{5}}+{{i}^{6}}+{{i}^{7}} \right)+...+\left(
{{i}^{2016}}+{{i}^{2017}}+{{i}^{2018}}+{{i}^{2019}} \right)=0$
$\Rightarrow
z={{i}^{2}}+...+{{i}^{2019}}={{i}^{2}}+{{i}^{3}}=-1-i$
$\Rightarrow a=-1$.
|
PP nhanh trắc nghiệm
@ Ta có $z={{i}^{2}}+...+{{i}^{2019}}$ là tổng của dãy một
CSN với số hạng đầu tiên ${{u}_{1}}=-1$, công bội $q=i$ và $n=2018$.
Do đó ta có $z={{i}^{2}}\frac{{{i}^{2018}}-1}{i-1}=-1-i$.
Suy ra $a=-1$.
|
MỜI BẠN VÀO LINK NÀY➽➽ Dạng 2. Xác định các yếu tố cơ bản của số phức qua phép toán.
BẢNG ĐÁP ÁN DẠNG 2
1.C
|
2.C
|
3.A
|
4.A
|
5.C
|
6.D
|
7.C
|
8.B
|
9.A
|
10.D
|
11.D
|
12.C
|
13.B
|
14.C
|
15.D
|
16.C
|
17.D
|
18.C
|
19.D
|
20.B
|
R_ Dạng 3. Bài toán
quy về giải phương trình, hệ phương trình nghiệm thực.
V-Phương pháp:
u_Sử dụng tính chất hai số phức bằng
nhau.
Cho hai số phức ${{z}_{1}}={{a}_{1}}+{{b}_{1}}i$,
${{z}_{2}}={{a}_{2}}+{{b}_{2}}i$ $\left(
{{a}_{1}},{{a}_{2}},{{b}_{2}},{{b}_{2}}\in R \right)$. Khi đó:
${{z}_{1}}={{z}_{2}}\Leftrightarrow
\,\,\,{{a}_{1}}={{a}_{2}}\,;\,\,\,{{b}_{1}}={{b}_{2}}$
v_Số phức liên hợp, môđun của số phức:
Cho số phức $z=a+bi$.
Ø
Số phức liên hợp của $z$ là $\overline{z}=\overline{a+bi}=a-bi$ ($a, b\in
\mathbb{R}$) .
Ø
Tổng và tích của $z$ và $\overline{z}$ luôn là một số thực.
+ $\overline{{{z}_{1}}\pm {{z}_{2}}}=\overline{{{z}_{1}}}\pm
\overline{{{z}_{2}}}$.
+ $\overline{{{z}_{1}}.{{z}_{2}}}=\overline{{{z}_{1}}}.\overline{{{z}_{2}}}$.
Ø Môđun của số phức $\left| z \right|=\left| \overrightarrow{OM}
\right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$.
+ $\left| z \right|=\sqrt{z.\overline{z}}$ ; $\left|
z \right|=\left| \overline{z} \right|$.
j_Bài
tập minh họa:
Câu 1: (SỞ
GDĐT BÌNH THUẬN 2019) Nếu hai số thực $x,y$ thỏa mãn $x\left( 3+2i \right)+y\left( 1-4i
\right)=1+24i$
thì $x-y$ bằng?
A.
$3$. B. $-3$. C. $-7$. D. $7$
|
|
Lời giải
Chọn D
— Ta có:
$x\left( 3+2i \right)+y\left( 1-4i \right)=1+24i\Leftrightarrow
3x+y+\left( 2x-4y \right)i=1+24i$
$\Leftrightarrow 3x+y=1$ và $2x-4y=24$
$\Leftrightarrow x=2\,,\,y=-5$.
Vậy: $x-y=7$
|
PP nhanh trắc nghiệm
@
|
Câu 2: (MÃ ĐỀ 104
THPTQG 2017) Cho số phức z thỏa mãn ${|z|=5}$ và ${|z+3|=|z+3-10i|}$.
Tìm số phức ${w=z-4+3i.}$
A. $w=-3+8i.$ B. $w=1+3i.$ C. $w=-1+7i.$ D. $w=-4+8i.$
|
|
Lời giải
Chọn D
— $z=x+yi,(x,y\in \mathbb{R})$. Theo đề bài ta có:
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=25$ và ${{(x+3)}^{2}}+{{y}^{2}}={{(x+3)}^{2}}+{{(y-10)}^{2}}$.
Giải hệ phương trình trên ta
được $x=0;y=5$.
Vậy $z=5i$.
Từ đó ta có $w=-4+8i$.
|
PP nhanh trắc nghiệm
@ Thử
lần lượt các đáp án.
A. $w=-3+8i$
$\Rightarrow z=w+4-3i=1+5i$ nên $|z|=\sqrt{26}$ (loại).
Tương tự cho đáp án B và C.
D. $w=-4+8i$
$\Rightarrow z=w+4-3i=5i$ thỏa mãn ${|z|=5}$ và ${|z+3|=|z+3-10i|}$. |
Câu 3: (MÃ ĐỀ 108 THPT QG 2019) Cho số phức $z$ thỏa
mãn $3\left( \overline{z}-i \right)-\left( 2+3i \right)z=7-16i$.
Môđun của số
phức $z$ bằng
A.
$5$. B. $3$. C. $\sqrt{5}$. D. $\sqrt{3}$.
|
|
Lời giải
Chọn C .
— Gọi $z=x+yi\,\,$với $x,y\in \mathbb{R}.$
— Ta có
$3\left(
\overline{z}-i \right)-\left( 2+3i \right)z=7-16i\Leftrightarrow 3\left(
x-yi-i \right)-\left( 2+3i \right)\left( x+yi \right)=7-16i$
$\Leftrightarrow 3x-3yi-3i-2x-2yi-3xi+3y=7-16i$
$\Leftrightarrow \left( x+3y \right)-\left( 3x+5y+3 \right)i=7-16i$
$\Leftrightarrow x+3y=7$ và $3x+5y+3=16$
$\Leftrightarrow x+3y=7$ và $3x+5y=13$
$\Leftrightarrow x=1$ và $y=2$
Do đó $z=1+2i$. Vậy $\left| z
\right|=\sqrt{5}$.
|
PP nhanh trắc nghiệm
@
.
|
MỜI BẠN VÀO LINK NÀY➽➽ Dạng 3. Bài toán quy về giải phương trình, hệ phương trình nghiệm thực.
BẢNG ĐÁP ÁN DẠNG 3
1.B
|
2.D
|
3.B
|
4.D
|
5.C
|
6.C
|
7.B
|
8.C
|
9.A
|
10.B
|
11.D
|
12.D
|
13.A
|
14.B
|
15.A
|
16.A
|
17.B
|
18.D
|
19.B
|
20.A
|
R_ Dạng 4. Bài toán tập hợp điểm biểu diễn số phức
V-Phương pháp:
u_ Số phức $z=x+yi$ có điểm biểu diễn trên mp $Oxy$ là điểm $M\left( x;y \right)$.
v_Số phức $z=x+yi$ có môđun $\left| z \right|=\left|
\overrightarrow{OM} \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$ .
w_ Số phức $z=x+0i$ có phần ảo bằng $0$ được coi là số thực và
viết là $z=x$
_ Số phức $z=0+yi$ có phần thực bằng $0$ được gọi là số
ảo (hay số thuần ảo) và viết là $z=yi$
x_ Phương trình đường tròn:
Dạng 1: ${{\left( x-a
\right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}={{R}^{2}}$ có tâm $I\left( a;b \right)$, bán kính $R$.
Dạng 2: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0$ có tâm $I\left( a;b \right)$, bán kính $R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c}$ (Với ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c>0$)
j_Bài
tập minh họa:
Câu 1: (THPT SỐ 1 TƯ NGHĨA LẦN 2
NĂM 2019) Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa $|z-3+i|=2$ trong mặt
phẳng $Oxy.$
A. Đường tròn ${{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left(
y-1 \right)}^{2}}=4$. B. Đường tròn ${{\left( x-3
\right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=4$.
C. Đường tròn ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left(
y+1 \right)}^{2}}=2$. D. Đường
thẳng $3x-y+2=0.$
|
|
Lời giải
Chọn .
— Đặt $z=x+yi~\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$.
Ta có:
$ \left| z-3+i \right|=2\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x-3
\right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}}=2$
$\Leftrightarrow {{\left(
x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=4.$
|
PP nhanh trắc nghiệm
@
|
Câu 2: (THUAN-THANH-BAC-NINH 2019) Tập hợp các điểm
$M$ biểu diễn số phức $z$ sao cho ${{z}^{2}}={{\left( \overline{z}
\right)}^{2}}$ là
A. trục tung và trục hoành. B. trục tung.
C. trục hoành. D. gốc tọa độ.
|
|
Lời giải
Chọn A
— Đặt $z=x+yi\,\,(x,\,\,y\in \mathbb{R})$ nên $\overline{z}=x-yi$.
Ta có: $\,\,\,\,\,{{z}^{2}}={{\left( \overline{z}
\right)}^{2}}\Leftrightarrow {{z}^{2}}-{{\left( \overline{z} \right)}^{2}}=0$
$\Leftrightarrow \left( z-\overline{z}
\right)\left( z+\overline{z} \right)=0\Leftrightarrow \left( 2yi
\right).\left( 2x \right)=0\Leftrightarrow x=0\,\,\,\text{hay}\,\,\,y=0$.
Vậy tập hợp các điểm $M$ biểu diễn số phức $z$
là trục tung $\left( x=0 \right)$ và trục hoành $\left( y=0 \right)$.
|
PP nhanh trắc nghiệm
@
|
Câu 3: (HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC 2019) Cho số phức $z$
thỏa mãn $\left| z-1+i \right|=\left| z+2 \right|$. Trong mặt phẳng phức, quỹ
tích điểm biểu diễn các số phức $z$
A. là đường thẳng $3x+y+1=0$. B.
là đường thẳng $3x-y+1=0$.
C. là đường
thẳng $3x+y-1=0$. D. là đường thẳng $3x-y-1=0$.
|
|
Lời giải
Chọn B
— Giả sử số phức $z$
có dạng: $z=x+yi\,\,\,\,\,\,\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$
Ta có: $\left| z-1+i
\right|=\left| z+2 \right|\Leftrightarrow \left| x+yi-1+i \right|=\left|
x+yi+2 \right|$
$\Leftrightarrow
\left| \left( x-1 \right)+\left( y+1 \right)i \right|=\left| \left( x+2 \right)+yi
\right|$
$\Leftrightarrow
\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left(
x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}$
$\Leftrightarrow
{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}={{\left( x+2
\right)}^{2}}+{{y}^{2}}$
$\Leftrightarrow
{{x}^{2}}-2x+1+{{y}^{2}}+2y+1={{x}^{2}}+4x+4+{{y}^{2}}$
$\Leftrightarrow
6x-2y+2=0\Leftrightarrow 3x-y+1=0$
Vậy tập hợp điểm biểu
diễn số phức $z$ là đường thẳng $3x-y+1=0$.
|
PP nhanh trắc nghiệm
@
.
|
MỜI BẠN VÀO LINK NÀY➽➽ Dạng 4. Bài toán tập hợp điểm biểu diễn số phức
BẢNG ĐÁP ÁN DẠNG 4
1.A
|
2.A
|
3.C
|
4.D
|
5.A
|
6.D
|
7.A
|
8.C
|
9.B
|
10.C
|
11.C
|
12.C
|
13.B
|
14.B
|
15.B
|
16.B
|
17.C
|
18.A
|
19.D
|
20.C
|
No comments:
Post a Comment